按打分法，最后的抉择方案是Ｃ。但是，假定甲知道其他人的偏好，他便可能将全部分都给予Ａ，从而使得Ａ获胜。其他人也可能会采取类似的做法，并且完全有理由这样做。这正是投票策略的情况。另外，当一些人知道自己最赞成的方案不会当选时，便会转而将选票投给第二好的方案，以避免更坏的可能性发生。从理论上来看，一种投票规则对偏好强度越敏感，给策略行为提供的机会也就越大。
策略行为的另一个方面是选票交易，在简单多数规则下，获胜的多数将得到的利益可能少于失败的少数而付出的代价。在这种情况下，少数人便可能试图进行选票交易，以防止这样的情形发生。这时的选票交易可能有两种情况：一是一些人贿赂另一些人，使他们投票赞成自己所赞成的方案。二是两个方面达成某种协议，在一类问题上甲方支持乙方，换取乙方在另一类问题上支持甲方。在这类交易不损害第三方的情况下，选票交易有助于增进帕累托有效性，因为显然只有当交易使有关各方至少一方获利，并且不损害任何一方时，它才能获得有关各方的赞同。选票交易有利于效率的提高，但是它却会引起高额的交易成本，并因此而使得政治过程复杂化，不利于民主政治，因此在政治上往往受到限制甚至禁止，宁可鼓励弃权，也不鼓励交易。三是无论是复数投票法还是打分投票法，虽然增加了解决投票悖论的可能性，但它们依然可能出现投票悖论。
四、单峰定理
阿罗的不可能定理表明，任何一种公共选择的投票方法均不可能完全解决投票悖论，因为任何公共选择规则都不可能满足他所提出的五项条件。根据许多学者的研究，偏好的单峰性是满足这五项条件的前提。如果对个人偏好形式加以适当的限制，就有可能改变偏好的多峰性，从而解决投票悖论。邓肯·布莱克由此提出了著名的单峰定理。他认为，通过对个人的偏好进行适当的限制，使其适合于某一种类型，则多数决策结果就满足可传递性假定。单峰定理就是如果投票者满足偏好的单峰性，并且投票者的数目是奇数，那么多数法将满足可传递性。
单峰的数学涵义是：设n个投票者的效用函数是U1 (X),…,Un (X),Ui (X)(i=1,…,n)定义在可供选择的社会状态的集合S上，那么在二维平面上，若将S标在横轴上，将Ui (X)(i=1,…,n)表在纵轴上，则至少存在S的一种排列，使得Ui (X)的几何图形均有一个高峰。
上面投票程序决定投票结果的做法实际上就是利用限制定义域的方式来使偏好具有单峰性。如对于A、B、C三个方案，可以先把偏好定义域限制在Ａ与Ｂ，两者相比Ｂ优于Ａ，具有单峰性；把定义域限制在Ｂ与Ｃ，两者相比Ｂ优于Ｃ；再把定义域限制在Ａ与Ｃ，两者相比Ｃ优于Ａ。这样多数决策的结果就满足可传递性条件，社会选择的偏好顺序将是Ｂ>Ｃ>Ａ。
单峰定理表明，在单峰型的偏好结构中，多数决策的结果是具有稳定性的。这就克服了投票悖论结果的不稳定性。不过单峰定理虽然创造了社会偏好的连续性，但违背了无限制定义域的假定。因此，在投票实践中，单峰定理也不过是在理论上给出了如何创造投票结果，而并未解决从个人偏好推导出集体偏好的问题。
不过布莱克的单峰定理依然是有意义的。因为它给出了从个人偏好推导出集体偏好的条件的另一种表述。而且还给出了从个人偏好推导出社会偏好并且避免投票悖论的可能性。单峰定理表明，投票悖论出现的可能性比较小，因为在大多数场合，个人的偏好结构会呈现出单峰形。为什么呢？假定Ａ代表低水平的预算，Ｂ代表中等水平的预算，Ｃ代表高水平的预算，在概率上说，Ｃ>Ａ>Ｂ>C的个人偏好顺序出现的可能性很小，因为绝大多数人不会认为高额预算比低额预算好，又认为低额预算比中等规模的预算好。
从数学上来看，如果y代表个人偏好的理想目标个数，以x代表可供选择的社会状态，那么，在多数投票规则中不可能存在获胜者的概率是x、y的函数，可以写成：
p=f(x,y)
在这一公式中，p表示不存在投票结果的可能性，f表示函数关系。该函数是一个增函数。这说明，只要x增加，或y增加，或者x和y都增加，则多数投票结果很可能是势均力敌、不分胜负。这说明，在一个高度不一致并且人数众多的社会中，个人之间很难达成一个比较理想的结果。反之，在一个比较统一的社会中，个人之间存在着某种程度的偏好意愿的一致性，这时几个人或更多的人会共同抱有一个理想目标，于是n减少，使多数投票产生胜利者的可能性增加。
公共选择学者戈登·图洛克认为，在现实世界中，投票者的个数总是大大超过供投票选择的社会状态的个数的。这时，出现投票悖论的概率是如此之小，以至于在实际上可以不考虑它。这时，出现一致的概率就很高，而再提出或拥护另一个选择方案的成本会高于该方案能带来的利益。如果实际的多数投票结果确实靠近中间状态，则该结果将被大家所接受。
图洛克的话可能有待于事实的验证，但它有助于说明直接民主投票制何以比间接投票制容易达成投票结果、不易导致投票悖论的原因，也可以说明直接民主很容易摧毁民主制度因而具有更大的不稳定性的原因。在直接民主投票制下，参加投票的人数总是大大超过被投票表决的方案个数的，这时出现投票悖论概率很小。这时比较容易达成一致意见，这就意味着直接民主有利于实现快速决策，这在个人偏好不易改变的情况下，就有利于民主的稳定和政策的持续性。但如果个人的偏好容易改变，则也容易为多数专制创造条件，从而摧毁民主制度本身。在间接民主制下，投票者往往限于少数人，这时投票者数目减少，而可选择的方案却比较容易提出，这时投票结果就难以达到一致的结果。如在英国，投票者总是限于保守党、工党与别的大党之间，投票者数目减少了，提出可选方案又较为方便，就使投票难以达到一致的结果。在这种情况下，在一个社会可供选择的状态的个数已经确定的前提下，决策程序越是不民主，则投票结果就越是不确定、不稳定，政府政策就越是易变。当然，由于投票者人数少，提出方案比较容易，要达成一致意见比较困难，这时也有利于保守的倾向，从而稳定先前的投票格局。
因此，单峰定理的有效性有一定的实际背景。由单峰定理可以推导出中间投票者定理。该定理认为，在个人偏好满足单峰性的简单多数规则下，在投票中赢得胜利的将会是为中间投票者所最为赞成的方案。从社会分层角度来看，中间投票者往往为拥有中间收入或财产的居民，也就是中间阶级或者中产阶级。单峰定理假定每个投票人不会以为中间状态太差，即他只能走一个极端，而不可能同时走另一个极端。这实际上隐喻了大多数选票会投在中间方案上。
正式提出中间投票人定理的是唐斯(A.Downs)。他在1957年出版的《民主的经济理论》中指出：如果在一个多数决策的模型中，个人偏好都是单峰的，则反映中间投票人意愿的那种政策会最终获胜，因为选择该政策会使一个团体的福利损失最小。中间投票者定理表明，任何一个政党或政治家，要想获得极大量的选票，必须使自己的竞选方案与纲领符合中间投票人的意愿。反过来，任何政党或政治家，如果要赢得选举的胜利，必须保持中庸。此外，如果一个社会成员中产阶级居于多数地位，那么整个社会就越是不可能出现极端的选择，就越不可能出现革命或者反革命。政治就越稳定，社会经济生活也就越有条件理性化，而不是走向极端。因此，中产阶级与民主的稳定性有着非常密切的关系。
五、交易成本
除了全体一致、多数法则、序数投票法则、打分投票法则等之外，还有单名制选区制、比例代表制等更为复杂的模式。这些模式也有其特点，并产生有趣的公共选择结果，如单名制选区制创造两党制，因为单名制选举制限制了定义域；比例代表制会创造多党制，因为它的选择范围较宽。这表明，限制定义域，有助于创造唯一且稳定的解。
在上述探讨中，我们均没有考察任意选择规则的交易成本问题。也就是说，我们在考察上述选择规则时，实际上假定了交易成本为零的外在条件。但是，在实际上，交易成本并不为零。每一种公共选择规则均有其交易成本。交易成本是公共选择规则之选择的决定要素，我们应该根据交易成本的高低，来决定采取何种公共选择的规则。
公共选择的交易成本包括：选择投票制度的行政管理成本、决策过程的参与成本、投票结果的实施成本以及配置方面的效率成本。就决策过程参与成本来说，又可以细分为谈判成本和机会成本。谈判成本就是为了征得一批社会成员同意采纳某项征税或公共支出子方案而必须付出的代价。机会成本就是某项提案被延迟执行而付出的机会成本。显然，共同体越大，决策的交易成本也就越大。
根据不同规则的不同交易成本，我们可以发现，简单多数的交易成本最低，而全体一致的交易成本显然最高。但并不因此可以认为多数投票规则是一种有效决策规则，也不能说全体一致是值得追求的。事实上，实行一致原则，等于是承认任何人都有否决权，这会造成少数人的苛政，也会削弱共同体的行动能力。反过来，要制约政府采取集体行动的能力，最好的办法也就是采用交易成本较高的投票规则。这也就是自由的政府、法治的政府、民主的政府往往比专制的政府缺乏集体行动的能力，因而更能够实现有限政府理想的原因所在。当然，如果民主政府只实施简单多数的法则，民主政府也会产生多数的暴政，导致多数人剥削、压迫少数人的格局。这样的民主政府实际上就是暴民政府，它与自由的、法治的政府相比，更容易滥用权力。因此，现代政府实际上都是自由、法治、民主政府的混合物，它以自由为基础，法治为框架，民主为背景的有限且有效的政府。
第四节 政治均衡与立宪政治
公共选择研究指的是与市场选择相对的公共领域的选择。布坎南和图洛克是公共选择理论的奠基者。他们主张个人至上，以立宪框架，实现政治均衡，利用可靠的宪政制度，实现有限政府。
一、政治均衡
理想的公共选择是无政府的公共选择，是每一个人都有充分的自由的社会。布坎南认为，“理想的社会是无政府的社会，在这样的社会中，没有任何人或者集团能够强制他
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